海天名师曹显兵2010考研数学真题解析

    主持人：各位网友大家好， 2010年的研究生入学考试的数学考试已经结束了，我们第一时间请到了海天教育考研数学辅导专家曹显兵老师来为大家做点评这次的考研数学试题，请您先跟大家打声招呼。
   
    曹显兵：各位同学大家辛苦了，今天借这个机会跟大家说说数学考试的情况。
   
    主持人：欢迎曹老师，今年数学考的数一数二数三这三份试题分别有什么特点？
   
    曹显兵：我刚刚下班就拿到了今年的考试题，今年的题个别的地方不是很准确，主要的地方应该差不多，个别有一些小小的错误，我拿到这个题总的感觉，今年数一数二数三比09年的题稍微容易一些，还是注重考察基本概念，基本性质，基本的原理，当然也考察了大家的计算能力，具体举例子，比如说线性代数，关于特征值和特征向量，相似问题。这些地方是数一数二数三都考的。
    有这么一道题，选择题，一个矩阵A是四阶的对称阵，这个矩阵A的平方加A等于零，A的秩等于3，问A相似于什么样的矩阵，大家要知道一个满足一个方程A平方+A等于0的矩阵，其可能特征值是-1和0，现在的问题是有几个-1和几个0，我们平常在同学们强化班有特别强调这个东西，一个可对角化的矩阵的非零特征值的个数就是这个矩阵的秩，这个基本的结论掌握了，马上知道-1有三个0还是一个，概念比较清楚的同学这道题是不需要动笔的。
    我还说一个考题，说明基本概念，基本定理掌握的重要性，像数三考的第五个选择题，其他的考生也考了，考的是向量组可以由另外一个向量组线性表示，而且第一个向量组是与线性无关的，那么第一个向量组的个数一定小于等于第二个向量组的个数，这是教材里的现成的定理。
    我举这两个例子说明考察基础是重要的，高等数学概率统计也有好几个题是属于考察基本理论。
   
    主持人：今年是重视基础的东西。
   
    曹显兵：对。
   
    主持人：您能不能给我们具体一下这份试卷都考察了哪些知识点，对其中有代表性或者是难题给大家分析一下。
   
    曹显兵：像线性代数这是数一数二数三都考的，这门课程是两个大题三个小题，拿大题来说今年线性代数考了什么样的大题，线性代数的第一个大题，数一和数三是相同的，给了一个三阶矩阵，里面有一个参数，又给了一个列向量b，b中也有一个参数，矩阵A乘X等于b，要把矩阵A里面的参数求出来，列向量b里面的参数a求出来，这是一个大题，非齐次方程组有两个不同的解，立马应该想到对应齐次方程组一定有非0的解，所以这个题就好做了，马上就知道A矩阵的行列式等于0，求出来会有两个值，再来求列向量b里面的a，由于非齐次方程组有解，故系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，我稍微动了一下笔很快就可以把两个参数给求出来，这个时候只有一个值能保证，得出的结果应该是……
    A矩阵的行列式为零会得到λ的两个值，根据非齐次方程组有解把a的值求出来，λ有一个值要省去的，a的值等于-2，完全变成了通常的非齐次方程组求解的问题，把特解求出来，把基础解系求出来，结果就出来了。
    基础解系是1、0、1，我们线性代数的这11分大题，对知识点、对方程组的求解，包括解的性质这两个知识点考生应该必须熟练地顺利地做出来。
    线性代数还有一个大题，这个题目里显得灵活性更大的一个题，它是告诉我们一个矩阵A，也是有一个未知参数a，矩阵是对称的，正交矩阵Q，使得Q的转置乘A乘Q，告诉我们Q的第一列是已知，要把未知参数a求出来，把Q也给求出来，这个题的解题思路应该是告诉了Q的第一列，是正交矩阵，第一列就是一个特征向量，但是什么特定值对应的特征向量是未知的，我们就可以得到一个方程，矩阵A去乘这个向量Q的第一列，等于它对应的特征值λ去乘以列向量Q的第一列，三个方程中两个参数a和λ很快就可以求出来。A求出来是-1，λ求出来是2，这两个东西求出来，a和正交矩阵Q求出来，我们还要求第二列和第三列，那就是把a矩阵的另外两个特定值给求出来，A矩阵的另外两个特征值那就是-4和5，A矩阵没有未知参数，已经知道了一个2，另外两个是-4和5，按照我们常规的办法把-4和5对应的特征向量求出来，只要把-4和5对应的特征向量单位化，Q的第二列和第三列就出来了，这个命题的思路也是我反复在上课当中强调的，也就是说逆向思维，在数学里面同学们要培养自己逆向思维的能力，一个问题返过来怎么思考，我们研究生考试的数学题每年都会有逆向思维的问题。一个方程组知道了方程组的解怎么把方程给找出来，我们经常做的问题是知道方程组怎么把解求出来，知道了解怎么求方程组，这是逆向的问题。
    数一的线性代数的第二个大题和数三不一样，数一的题更加典型地考察的是逆向思维，我把这个题大致的思路说说，它是知道一个二次型但是二次型的矩阵A是不知道的，二次型的标准型是知道，看到这句话同学们马上应该想到矩阵A的特征值是1、1、0，告诉了我们Q的第三列，就是告诉了我们一个特征向量，这个题是要把二次型对应的矩阵A给求出来，反过来把A给求出来，通过别的一些已知条件，这个题是找到A矩阵的三个特征值，就是1、1、0，这个题的第二问更简单了，A矩阵的特征值是1、1、0，A加单位矩阵的特征值就是2、2、1，这个题也能非常清楚地解出来。完全是考察了方向思维的问题。
   
   
    主持人：高数部分呢？
   
    曹显兵：高等数学概率统计，因为时间的关系，我再说一说概率统计，高等数学从大题来说，一个是考察了求极限，数三考的大的极限的计算题，09、08年都考了，这是未定式的极限，从这个角度来说一样的题型，这个题是幂值函数的形式，还有二重积分的计算，也是08、07、09年考过的问题，这是重中之重，我每次讲课的时候这个地方必考，果然今年考了二重积分的计算。再考了中值定理，微分中值定理的证明题，是经济类的大题。
    理工类的大题，我们高等数学一个是考了一个很常规的二节长系数微分方程的求解，这个我们讲课当中一般告诉大家一定不会考得很复杂，再考了一个判别函数的单调区间和极值的题，这个题应该不难，然后考了求幂级数的数领域和和函数，还有曲面积分的计算，这个题做起来也不难。
    概率统计和现行代数一样34分，三个小题两个大题，大题一般是十几分，比高等数学高一些，这两个大题我也看了一下，和理工经济的第一个大题是相同的，第二个大题不一样，挺有意思，我拿到这个题，经济类的这两个大题从题型上来说和去年可以说非常非常类似，和09年，这也是验证了一条，我们复习研究生的数学一定要把真题，最近的真题一定要复习好，要理解它，经济类的第一个大题也是理工类的第一个大题概率统计，是告诉了联合密度里面有一个未知参数，要你把参数A给求出来，联合密度在整个平面上的积分等于1，等于于是A就可以求出来，派分之一，A在计算积分的时候可能会遇到点困难，要知道概率积分，就好办了，这个原理不记得会影响到后面的计算。第二问求条件密度，条件密度本质上就是求边缘密度，因为表现密度是等于联合密度除以边缘密度，求条件密度不就是求边缘密度嘛求边缘密度是同学们都应该会做的，也是一定要掌握的东西，我在强化班冲刺班都讲了，我在冲刺班讲了重点求条件密度，这个题型应该是非常的吻合，强化班主要讲概率统计这门课程。
    另外一个大题和09年经济类的大题已经相同到非常非常类似，我们今年的题是一个箱子里面有六个球，09年也是六个球，今年是红球一个，白球两个，黑球三个，09年题红类一个，黑球两个，白球三个，09年从里面一次拿有放回地拿回，这么拿两个球出来，今年这个地方改了一下，今年是一次拿两个球出来，要你把联合分布率求出来，把X、Y的联合分布率求出来，这是简单的古典概型问题，第二问求协方差，我给大家上课的时候强调联合分布率已知了以后，就什么东西都可以求出来，后来不存在不会做的问题，我反复强调的离散型二维随机变量计算联合分布率是重中之重，这两个大题都放在二维随机变量这一章里面，一个是考的离散型，一个考的连续型。这是经济类的这两个大题也是平常强调的完全一致的题型。
    我们的理工类的另外一个大题是个统计的题，经济类数三数四合并了，09年考了一个四分的题，今年也只考了四分的题，是关于求统计量的数字特征的题型和去年是类似的，理工类的大题不一样，去年是考的求点估计，今年考的是求统计量的数字特征，要求一下方差，要判别无偏估计。所以这个大题还是在我们统计里面要求同学们掌握的两个重点题型之一。这个题上面的表达不是很清楚，验证一个统计量是无偏的，该把数学期望求出来然后求方差，独立性等于方差之和，应该说计算不复杂。
   
    主持人：今年的数学题是考基础的比较多比需要偏容易，今年的分数线大概会是多少？
   
    曹显兵：今年的分数线和09年的分数线，分数线是有34所高校自主定分数线，所谓的分数线是教育部定的分数线，教育部对一般的重点，和一般学校定的分数线，也是分了A、B、C类地区，这个分数线是很复杂的。
    A类地区像北京、上海、湖北、湖南都是属于A类地区，以报考的学校所在的地区，不是你在哪儿考试，拿09年的分数线比较，09年最高的学科是经济学，学科门类，一共是11个门类，经济类是考生最多的学生，去年是71分，今年的分数线要上升3分左右，这是我个人的感觉，也差不了哪儿去，理工类的分数线会比较低，我没记错是50多分，今年估计在61分左右，我对理工类的数一的估计。
   
    主持人：普通会提高两三分。
   
    曹显兵：对，一个是题目的原因，还有一个原因今年的考生增加了，但是我们招生的指标基本上持平，考生增加了不少，但是招生的指标并没有增加，从这个角度来说也会使得这个分数线会提高一点，两个方面的原因，我的预测会略高于去年得分数先。
   
    主持人：老师给我们介绍一下阅卷的情况，考生们现在比较关心大概什么时候会出成绩？
   
    曹显兵：今年考试比较早，就我所了解的情况是在春节之前就会阅卷完，09年是春节之后阅卷，但是成绩公布我估计会要到春节之后，就是复试应该是在根据我们单位的安排是3月份，我也给考生透露一点消息，属于小道消息，现在国家有关部门，教育部门感觉到应届毕业生一个是要就业，一个也存在考研，中间有一个衔接的问题不好衔接，现在有关的教育主管部门希望把研究生的考试在2011的提前，有一种趋向有一部分人希望提前到2011的招生的考试提高到10年12月份，对于2011年入学的考生来说提早一点，早做准备会比较好。
   
    主持人：结合这次的试题，能不能请曹老师谈一下，这次的数学考试对明年参加考研有哪些启示呢？
   
    曹显兵：我想对于2011年，现在的2007级的同学来说，数学这门课程一定要重视基本的概念，基本的定理的理解，再有一定要去做题，数学这个东西同学们复习它的时候我认为有一些同学习惯于只看题不做题，这样走向考场以后感觉可以做，一动笔就做不下去，所以一定要早动手，而且我们平常在复习过程中基础阶段，对教材的复习过程当中也要有纸有笔，把这个题要认认真真做出来，再去看答案，发现问题，发现这个题我做不下去了，通过自己认真的思考做不下去再去看解答  ，这样的效果会更好，数学看一百遍不如做一遍的效果好，希望2011年入学的考生早动手，数学从基础抓起，从教材开始。把教材巩固一遍以后，然后再来进入强化提高的阶段，专门针对研究生考试，看研究生考试的参考书这各环节不可少，感觉到自己离研究生考试到底有多少差距？
   
    主持人：这次考试来看考生在考场上容易犯哪些错误，下一次的考生需要注意哪些问题？
   
    曹显兵：我到考场上走发现最大的特点，很多人缺考，缺考根据我所了解的情况有很多的原因，有一些同学缺考的原因是找到了合适的单位，这完全是可以理解的，还有相当一部分同学是因为自己认为自己没有复习好没有自信心不去参加考试，有的是考了把英语政治考完以后认为没考好，第三门课数学就不参加考试了，到数学这门课程的时候粗略地统计了一下几个考场一般有20%的人缺考，其实你认为英语考得不好，别的同学也感觉难啊，首先同学们不要被自己所吓倒了，要对自己有相信，要坚持考完，实际上现在研究生的招生规模，2009年、2010年都是40多万，竞争并不是那么激烈，我们考研究生全国招两万多人，现在已经超过了我们那个招本科和大专的数目，所以一定要有信心，坚持到底就可以成功，没有考完肯定是没有录取资格的，在考试上要细心，有的同学看了把试卷发下来埋头就做题，应该把题目先看看，第一题看到最后一题这样子心态放松一下，再开始做题，一般先容易后难。
   
    主持人：最后曹老师还有什么想对各位考生说的吗？
   
    曹显兵：我希望准备参加研究生考试的同学，数学这门课程我认为是对大家终身受益的，喜欢上了它在学习上不感觉负担，学习数学有乐趣的，复习数学就不是苦差事了，所以希望考数学的同学喜欢它一会终身受用。
   
    主持人：非常谢谢曹老师