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    天津理工大学2014年硕士研究生入学考试大纲-数学分析(804)
天津理工大学2014年硕士研究生入学考试大纲-数学分析(804)
责任编辑:teng91  作者:佚名  来源:本站原创   更新时间:2013-9-13 16:29:26

  天津理工大学2014年硕士研究生入学考试大纲

  考试科目:数学分析(804)
  考试方式:考试采用笔试方式。考试时间为180分钟,试卷满分为150分。

  试卷结构与分数比重:
  试卷共分为四部分
  填空题
  选择题
  计算题
  证明题

  四、考查的知识范围:
  第二章
  1、数列的极限。2、函数的根限。
  3、函数的连续性。4、无穷小与无穷大。
  基本要求:
  (1)掌握极限的定义,会用ε——N,ε—δ语言证明极限存在。
  (2)会求极限,掌握关于极限的性质。
  (3)掌握函数连续的概念,会判断函数的连续性,会判断间断点及类型,熟悉连续函数的运算性质和局部性质。
  (4)会比较无穷小的阶,并会使用等价无穷小求极限。
  (5)熟悉闭区间上连续函数的性质。
  第三章   实数连续性定理
  1、实数连续性的基本定理。
  2、闭区间上连续函数性质的证明。
  基本要求:
  (1)熟悉六个实数连续性定理的条件与结论,这六个定理是:单调有界数列必有极限,确界原理,闭区间套定理,有界无穷数列必有收敛子列,有限覆盖定理,cauchy收敛准则。
  (2)了解六个定理之间的逻辑关系。
  (3)掌握函数一致连续的概念。
  (4)掌握闭区间上连续函数的性质,并会使用这些性质证明一些较简单的命题。
  (5)熟悉闭区间上连续函数性质的证明过程。
  第四章     导数与微分
  1、函数导数的定义与求导公式。
  2、求导法则:
  (1)四则运算法则,(2)复合函数求导法则。
  (3)隐函数及参数分程表示的函数的求导法则。
  3、高阶导数
  4、微分及其运算
  基本要求
  (1)掌握导数,左、右导数的定义,会用左、右导数求导数或证明导数的存在。
  (2)熟练掌握求导法则,会求导数,包含高阶导数。
  (3)理解导数与微分之间的关系,会求微分。
  第五章   微分中值定理及其应用
  1、中值定理。2、泰勒公式。
  3、函数的单调性,凸性,极值。
  4、L’Hospital法则。
  基本要求:
  (1)掌握三个中值定理特别是拉格朗日中值定理的应用。
  (2)熟悉泰勒公式及其余项的两种形式:拉格朗日余项和皮亚诺余项。
  (3)会利用导数判断函数的单调性,凸性,求拐点。
  (4)会求函数的极值,最值。
  (5)会使用L’Hospital法则求极限。
  第六章   不定积分
  1、不定积分的概念与运算法则。
  2、不定积分的计算。
  基本要求:
  (1)熟练运用积分公式。
  (2)掌握换元积分法,分部积分法。
  (3)掌握有理函数积分法,简单有理函数和三角有理式的积分法。
  第七章    定积分
  1、定积分的概念。2、定积分的可积性质。
  3、定积分的性质。4、定积分的计算。
  基本要求:
  (1)掌握定积分的定义。
  (2)会运用定积分的性质,特别是变限函数性质的应用。
  (3)会计算定积分(N——L公式,换元积分与分部积分等)。
  第八章    定积分的应用
  1、平面图形面积的计算。
  2、曲线的孤长。
  3、体积的计算:旋转体,  截面面积已知。
  4、旋转曲面的侧面积。
  5、平均值。
  下册
  第九章    数项级数
  1、数项级数的收敛性和基本性质。2、正项级数。
  3、任意项级数。4、绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。
  基本要求:
  (1)掌握收敛级数的基本性质和Cauchy收敛准则。
  (2)掌握一般项级数收敛的以下的判断法:收敛的充要条件,比较判断法,比值判别法,根式判别法,积分判别法,掌握交错级数收敛的判别法,任意级数转化为正项级数的判别法,掌握狄利克莱,阿贝尔判别法。
  (4)了解绝对收敛级数,条件收敛级数的性质。
  第十章   广义积分
  1、无穷限的广义积分。
  2、无界函数的广义积分。
  基本要求:
  (1)广义积分的计算。
  (2)掌握广义积分收敛的判别法。
  第十一章   函数项级数
  1、函数项级数的收敛和一致收敛。
  2、幂级数的收敛区间,和函数。
  3、将函数展成幂级数。
  基本要求:(1)掌握函数项级数的一致收敛性的概念,会判断一致收敛,主要是M——判别法。
  (2)掌握一致收敛的函数项级数的三个分析性质:逐项微分、逐项积分、函数的连续性。
  (3)会求幂级数的收敛半径,收敛区域。
  (4)会求和函数以及将函数展成幂级数。
  第十二章Fourier级数
  1、函数展成Fourier级数。2、Fourier级数的收敛性。
  基本要求:
  (1)会求周期为2T的函数的Fourier级数。
  (2)会将定义于[O、T]的函数展成正弦级数或余弦级数。
  (3)掌握函数f(x)的Fourier级数的收敛性定理。
  第十三章   多元函数的极限与连续
  1、平面点集。2、多元函数的极限。
  3、多元函数的连续。
  基本要求:
  (1)熟悉距离,邻域,聚点、内点、开集、闭集、区域的概念。
  (2)了解平面点集连续性定理。
  (3)掌握多元函数极限的概念(主要是二元函数的极限),熟悉重极限与累次极限的关系。
  (4)熟悉多元函数连续的概念,掌握极限的运算法则,连续函数的局部性质。
  (5)熟悉有界闭区域连续函数的性质。
  第十四章  偏导数和含微分
  1、偏导数和全微分的概念。
  2、复合函数求偏导数的法则。
  3、隐函数的求导法则。
  4、空间曲线的切线与法平面方程。
  5、空间曲面的切平面与法线方程。
  6、方向导数与梯度。
  基本要求:
  (1)会求偏导数。
  (2)掌握隐函数(一个方程,两个方程)的求导法则。
  (3)会求空间曲线的切线法平面方程。空间曲面的切面与法线方程。
  (4)会求方向导数和梯度。
  第十五章  极值
  1、极值与最值的求法。
  2、条件极值的求法(拉格朗日乘子法)。
  第十六章   隐函数存在定理
  1、隐函数存在定理。2、函数行列式的性质。
  基本要求:
  (1)掌握隐函数(一个方程,多个方程)存在定理的条件与结论。
  (2)熟悉函数行列式的性质。
  第十七、十八章  含参变量的积分
  1、含参变量的定积分。
  2、含参变量的无穷限积分。
  3、含参变量的无界函数的积分。
  基本要求:
  (1)掌握含参量定积分的分析性质。
  (2)掌握含参变量广义积分的一致收敛性的概念,一致收敛性的判别法,主要是控制收敛定理即魏尔斯特拉斯判别法。
  (3)掌握一致收敛积分的分析性质,连续性、积分号下求导,积分号下积分。
  第十九章  重积分,第一类曲线积分,第一类曲面积分的定义与性质
  基本要求:
  (1)掌握二重,三重积分,第一类曲线积分和曲面积分的定义。
  (2)理解重积分的几何意义,第一类曲线积分和曲面积分的物理意义。
  (3)掌握以上三种积分的性质。
  第二十章   重积分的计算及应用
  1、二重、三重积分化为累次积分法。
  2、二重积分、三重积分的换元积分法。
  基本要求:
  (1)掌握二重积分转化为累次积分的方法。
  (2)掌握二重积分的极坐标变换,三重积分球面坐标变换的积分法。
  (3)了解二重积分、三重积分的一般变换的积分方法。
  第二十一章   曲线积分与曲面积分的计算
  1、第一类曲线积分,曲面积分的计算。
  2、第二类曲线积分的定义与计算。
  3、第二类曲面积分的定义与计算。
  4、两类曲线积分,两类曲面积分之间的关系。
  第二十二章    各种积分之间的关系
  1、格林公式。2、奥高公式。3、曲线积分与路径的关系。
  基本要示:
  (1)掌握以上主要公式的应用。
  (2)掌握曲线积分与路径的关系的条件。
  考试内容基本要求:
  计算方面
  (1)会求极限(2)会求导数,含偏导和高阶导数,方向导数,梯度。(3)会求积分(含不定积分,定积分、广义积分、重积分、曲线积分、曲面积分)(4)会求无穷级数的和与收敛区间,会将函数展成幂级数或Fourier级数。
  2、证明方面
  (1)用ε——N,ε—δ语言证明极限或函数的连续性。
  (2)会运用连续函数性质(含闭区间上连续函数和极限性质如局部有界性,保号性或保序性等)以及函数极限与数列极限的关系,证明有关命题。
  (3)会用微分中值定理和定积分性质证明有关命题。
  (4)函数项级数,含参变量积分(广义)的一致收敛性的证明,以及运用函数项级数,含参变量积分一致收敛的分析性质证明有关命题,熟练掌握幂级数“内闭一致收敛”性质。
  (6)熟练掌握一致连续函数的应用。
  (7)会应用极限存在的法则(单调有界原理,Cauchy收敛准则,夹逼法则,致密性定理等)
  3、判断方面
  (1)会判断数值级数和幂级数的收敛性。
  (2)会判断广义积分的收敛性。
  4、应用方面
  (1)导数应用:函数的单调性,凸性、极值、不等式。
  (2)积分(含重积分)的应用:面积,体积、弧长、曲面面积。

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