南开大学数学分析与线性代数2016年大纲

南开大学数学分析与线性代数2015年大纲

一、考试方法和考试时间

数学分析与线性代数考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟，其中数学分析占60%，90分，线性代数占40%，60分。

二、考试内容大纲

（一）数学分析

1、一元微积分

（1）数列的极限；函数与函数的极限；无穷大与无穷小；连续与间断，连续函数及其性质、一致连续

（2）导数、求导公式、求导法则、高阶导数；微分、微分中值定理；函数的单调性、极值、

 函数的凸性；洛必达法则；泰勒公式

（3）实数理论及其应用：确界原理、子列、有限覆盖定理、闭区间上连续函数性质、上极限和下极限

（4）不定积分的概念；换元积分法、分部积分法；有理函数的积分、三角函数有理式的积分、无理函数的积分

（5）定积分的计算与性质；微积分基本定理；定积分的应用；广义积分；含参变量积分

2、多元微积分

（1）多元函数极限与连续；偏导数、全微分；多元函数的泰勒公式；隐函数存在定理；多元函数极值和条件极值

（2）重积分的概念与性质；二重积分的计算、三重积分的计算、重积分的应用；第一型曲线积分、第二型曲线积分；第一型曲面积分、第二型曲面积分；曲线积分与路径无关的条件；Green公式、高斯公式、斯托克斯公式

3、级数

数项级数的敛散判别与性质；函数项级数与一致收敛性；幂级数

（二）线性代数

1、行列式

行列式的概念、性质与计算；行列式按行（列）展开定理；拉普拉斯（Laplace）定理

2、矩阵

矩阵的概念与基本运算；单位矩阵、矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵等价、矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；分块矩阵

 3、向量

向量的概念、向量的线性组合和线性表示；向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

4、线性空间与欧几里德空间

线性空间、线性空间的维数、基与向量的坐标；线性空间中的基变换与坐标变换、过渡矩阵；欧几里德空间、内积、线性无关向量组的正交化方法、标准正交基、正交矩阵及其性质

5、线性方程组

线性方程组的克莱姆法则；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件；线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组的基础解系和通解、解空间；非齐次线性方程组的通解；求解线性方程组的方法

6、矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量的概念、求法；相似变换、相似矩阵的概念及性质、若当标准型；矩阵可对角化的充分必要条件

7、二次型

二次型及其矩阵表示；二次型的秩、惯性定理、二次型的标准形和规范形、二次型的标准化方法；实对称矩阵的正定性及其判别法

一、考试方法和考试时间

数学分析与线性代数考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟，其中数学分析占60%，90分，线性代数占40%，60分。

二、考试内容大纲

（一）数学分析

1、一元微积分

（1）数列的极限；函数与函数的极限；无穷大与无穷小；连续与间断，连续函数及其性质、一致连续

（2）导数、求导公式、求导法则、高阶导数；微分、微分中值定理；函数的单调性、极值、

 函数的凸性；洛必达法则；泰勒公式

（3）实数理论及其应用：确界原理、子列、有限覆盖定理、闭区间上连续函数性质、上极限和下极限

（4）不定积分的概念；换元积分法、分部积分法；有理函数的积分、三角函数有理式的积分、无理函数的积分

（5）定积分的计算与性质；微积分基本定理；定积分的应用；广义积分；含参变量积分

2、多元微积分

（1）多元函数极限与连续；偏导数、全微分；多元函数的泰勒公式；隐函数存在定理；多元函数极值和条件极值

（2）重积分的概念与性质；二重积分的计算、三重积分的计算、重积分的应用；第一型曲线积分、第二型曲线积分；第一型曲面积分、第二型曲面积分；曲线积分与路径无关的条件；Green公式、高斯公式、斯托克斯公式

3、级数

数项级数的敛散判别与性质；函数项级数与一致收敛性；幂级数

（二）线性代数

1、行列式

行列式的概念、性质与计算；行列式按行（列）展开定理；拉普拉斯（Laplace）定理

2、矩阵

矩阵的概念与基本运算；单位矩阵、矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵等价、矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；分块矩阵

 3、向量

向量的概念、向量的线性组合和线性表示；向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

4、线性空间与欧几里德空间

线性空间、线性空间的维数、基与向量的坐标；线性空间中的基变换与坐标变换、过渡矩阵；欧几里德空间、内积、线性无关向量组的正交化方法、标准正交基、正交矩阵及其性质

5、线性方程组

线性方程组的克莱姆法则；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件；线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组的基础解系和通解、解空间；非齐次线性方程组的通解；求解线性方程组的方法

6、矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量的概念、求法；相似变换、相似矩阵的概念及性质、若当标准型；矩阵可对角化的充分必要条件

7、二次型

二次型及其矩阵表示；二次型的秩、惯性定理、二次型的标准形和规范形、二次型的标准化方法；实对称矩阵的正定性及其判别法

【变化情况】无