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    天津理工大学804数学分析2017年考研大纲信息
天津理工大学804数学分析2017年考研大纲信息
责任编辑:教研助理1  作者:教研助理…  来源:天津理工大学   更新时间:2015-9-22 15:15:38

天津理工大学2017年硕士研究生入学考试大纲

 

一、            考试科目:数学分析(804

二、            考试方式:考试采用笔试方式。考试时间为180分钟,试卷满分为150分。

三、            试卷结构与分数比重:

试卷共分为四部分

一、            填空题

二、            选择题

三、            计算题

四、            证明题

四、考查的知识范围:

第二章

1、数列的极限。2、函数的根限。

3、函数的连续性。4、无穷小与无穷大。

基本要求:

1)掌握极限的定义,会用ε——Nεδ语言证明极限存在。

2)会求极限,掌握关于极限的性质。

3)掌握函数连续的概念,会判断函数的连续性,会判断间断点及类型,熟悉连续函数的运算性质和局部性质。

4)会比较无穷小的阶,并会使用等价无穷小求极限。

5)熟悉闭区间上连续函数的性质。

第三章   实数连续性定理

1、实数连续性的基本定理。

2、闭区间上连续函数性质的证明。

基本要求:

1)熟悉六个实数连续性定理的条件与结论,这六个定理是:单调有界数列必有极限,确界原理,闭区间套定理,有界无穷数列必有收敛子列,有限覆盖定理,cauchy收敛准则。

2)了解六个定理之间的逻辑关系。

3)掌握函数一致连续的概念。

4)掌握闭区间上连续函数的性质,并会使用这些性质证明一些较简单的命题。

5)熟悉闭区间上连续函数性质的证明过程。

第四章     导数与微分

1、函数导数的定义与求导公式。

2、求导法则:

1)四则运算法则,(2)复合函数求导法则。

3)隐函数及参数分程表示的函数的求导法则。

3、高阶导数

4、微分及其运算

基本要求

1)掌握导数,左、右导数的定义,会用左、右导数求导数或证明导数的存在。

2)熟练掌握求导法则,会求导数,包含高阶导数。

3)理解导数与微分之间的关系,会求微分。

第五章   微分中值定理及其应用

1、中值定理。2、泰勒公式。

3、函数的单调性,凸性,极值。

4LHospital法则。

基本要求:

1)掌握三个中值定理特别是拉格朗日中值定理的应用。

2)熟悉泰勒公式及其余项的两种形式:拉格朗日余项和皮亚诺余项。

3)会利用导数判断函数的单调性,凸性,求拐点。

4)会求函数的极值,最值。

5)会使用LHospital法则求极限。

第六章   不定积分

1、不定积分的概念与运算法则。

2、不定积分的计算。

基本要求:

1)熟练运用积分公式。

2)掌握换元积分法,分部积分法。

3)掌握有理函数积分法,简单有理函数和三角有理式的积分法。

第七章    定积分

1、定积分的概念。2、定积分的可积性质。

3、定积分的性质。4、定积分的计算。

基本要求:

1)掌握定积分的定义。

2)会运用定积分的性质,特别是变限函数性质的应用。

3)会计算定积分(N——L公式,换元积分与分部积分等)。

第八章    定积分的应用

1、平面图形面积的计算。

2、曲线的孤长。

3、体积的计算:旋转体,  截面面积已知。

4、旋转曲面的侧面积。

5、平均值。

下册

第九章    数项级数

1、数项级数的收敛性和基本性质。2、正项级数。

3、任意项级数。4、绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。

基本要求:

1)掌握收敛级数的基本性质和Cauchy收敛准则。

2)掌握一般项级数收敛的以下的判断法:收敛的充要条件,比较判断法,比值判别法,根式判别法,积分判别法,掌握交错级数收敛的判别法,任意级数转化为正项级数的判别法,掌握狄利克莱,阿贝尔判别法。

4)了解绝对收敛级数,条件收敛级数的性质。

第十章   广义积分

1、无穷限的广义积分。

2、无界函数的广义积分。

基本要求:

1)广义积分的计算。

2)掌握广义积分收敛的判别法。

第十一章   函数项级数

1、函数项级数的收敛和一致收敛。

2、幂级数的收敛区间,和函数。

3、将函数展成幂级数。

基本要求:(1)掌握函数项级数的一致收敛性的概念,会判断一致收敛,主要是M——判别法。

2)掌握一致收敛的函数项级数的三个分析性质:逐项微分、逐项积分、函数的连续性。

3)会求幂级数的收敛半径,收敛区域。

4)会求和函数以及将函数展成幂级数。

第十二章Fourier级数

1、函数展成Fourier级数。2Fourier级数的收敛性。

基本要求:

1)会求周期为2T的函数的Fourier级数。

2)会将定义于[OT]的函数展成正弦级数或余弦级数。

3)掌握函数fx)的Fourier级数的收敛性定理。

第十三章   多元函数的极限与连续

1、平面点集。2、多元函数的极限。

3、多元函数的连续。

基本要求:

1)熟悉距离,邻域,聚点、内点、开集、闭集、区域的概念。

2)了解平面点集连续性定理。

3)掌握多元函数极限的概念(主要是二元函数的极限),熟悉重极限与累次极限的关系。

4)熟悉多元函数连续的概念,掌握极限的运算法则,连续函数的局部性质。

5)熟悉有界闭区域连续函数的性质。

第十四章  偏导数和含微分

1、偏导数和全微分的概念。

2、复合函数求偏导数的法则。

3、隐函数的求导法则。

4、空间曲线的切线与法平面方程。

5、空间曲面的切平面与法线方程。

6、方向导数与梯度。

基本要求:

1)会求偏导数。

2)掌握隐函数(一个方程,两个方程)的求导法则。

3)会求空间曲线的切线法平面方程。空间曲面的切面与法线方程。

4)会求方向导数和梯度。

第十五章  极值

1、极值与最值的求法。

2、条件极值的求法(拉格朗日乘子法)。

第十六章   隐函数存在定理

1、隐函数存在定理。2、函数行列式的性质。

基本要求:

1)掌握隐函数(一个方程,多个方程)存在定理的条件与结论。

2)熟悉函数行列式的性质。

第十七、十八章  含参变量的积分

1、含参变量的定积分。

2、含参变量的无穷限积分。

3、含参变量的无界函数的积分。

基本要求:

1)掌握含参量定积分的分析性质。

2)掌握含参变量广义积分的一致收敛性的概念,一致收敛性的判别法,主要是控制收敛定理即魏尔斯特拉斯判别法。

3)掌握一致收敛积分的分析性质,连续性、积分号下求导,积分号下积分。

第十九章  重积分,第一类曲线积分,第一类曲面积分的定义与性质

基本要求:

1)掌握二重,三重积分,第一类曲线积分和曲面积分的定义。

2)理解重积分的几何意义,第一类曲线积分和曲面积分的物理意义。

3)掌握以上三种积分的性质。

第二十章   重积分的计算及应用

1、二重、三重积分化为累次积分法。

2、二重积分、三重积分的换元积分法。

基本要求:

1)掌握二重积分转化为累次积分的方法。

2)掌握二重积分的极坐标变换,三重积分球面坐标变换的积分法。

3)了解二重积分、三重积分的一般变换的积分方法。

第二十一章   曲线积分与曲面积分的计算

1、第一类曲线积分,曲面积分的计算。

2、第二类曲线积分的定义与计算。

3、第二类曲面积分的定义与计算。

4、两类曲线积分,两类曲面积分之间的关系。

第二十二章    各种积分之间的关系

1、格林公式。2、奥高公式。3、曲线积分与路径的关系。

基本要示:

1)掌握以上主要公式的应用。

2)掌握曲线积分与路径的关系的条件。

考试内容基本要求:

1、               计算方面

1)会求极限(2)会求导数,含偏导和高阶导数,方向导数,梯度。(3)会求积分(含不定积分,定积分、广义积分、重积分、曲线积分、曲面积分)(4)会求无穷级数的和与收敛区间,会将函数展成幂级数或Fourier级数。

2、证明方面

1)用ε——Nεδ语言证明极限或函数的连续性。

2)会运用连续函数性质(含闭区间上连续函数和极限性质如局部有界性,保号性或保序性等)以及函数极限与数列极限的关系,证明有关命题。

3)会用微分中值定理和定积分性质证明有关命题。

4)函数项级数,含参变量积分(广义)的一致收敛性的证明,以及运用函数项级数,含参变量积分一致收敛的分析性质证明有关命题,熟练掌握幂级数“内闭一致收敛”性质。

6)熟练掌握一致连续函数的应用。

7)会应用极限存在的法则(单调有界原理,Cauchy收敛准则,夹逼法则,致密性定理等)

3、判断方面

1)会判断数值级数和幂级数的收敛性。

2)会判断广义积分的收敛性。

4、应用方面

1)导数应用:函数的单调性,凸性、极值、不等式。

2)积分(含重积分)的应用:面积,体积、弧长、曲面面积。

 

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