一．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）：
（1）曲线 有斜渐近线 ，则 _____________．
（2）若函数 ，有一个满足 有理函数原函数 ，则 ____， ______， _______________．
（3）曲面 在点 处的切平面方程为________．
（4）设区域 由曲面 所围成，则
__________．
（5）三阶方阵 满足关系式 ， 的三个特征值分别为 ，则 的特征值为__________．
（6）设 ， 是两个相互独立且服从正态分布 的随机变量，则随机变量 的数学期望 __________．
二．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）：
（7）若 在 上连续，且 ，则 （ ）．
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
（8）设 则 （ ）．


（9）若 ，则 （ ）．
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
（10）设函数 所有二阶偏导数都连续，则 （ ）．
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
（11）若幂级数 在区间 上的和函数为 ，则幂级数
在区间 上的和函数为 （ ）．
（A） ；
（B） ；
（C） ；
（D） ．
（12）若L是由 及 所围区域的边界，L的方向为顺时针，则 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　（ ）．
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
（13）已知向量组 ， ， 的秩为2，则实数
（ ）．
（A）等于3； （B）等于0； （C）不存在； （D）可以为任意实数．

（14） 元线性方程组 有唯一解的充要条件是 （ ）．
（A）导出组 仅有零解；
（B） 为方阵，且 ；
（C） 的秩等于 ；
（D）系数矩阵 的列向量线性无关，且常数项向量 可由 的列向量组来线性表示．
（15）已知 ，且 ，则下列各选项中成立的是 （ ）．
（A） ；
（B） ；
（C） ；
（D） ．
（16）设 是来自正态总体 的简单随机变量， 是样本均值，记
， ， ，
．则服从自由度为 的 分布的随机变量为 （ ）．
； ； ； ．
三．（共8小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）：
（17）（本题满分8分）设函数 和 在区间 上连续，在区间 内可导，且 ， ，试证明存在 使
．
（18）（本题满分10分）判断级数

的敛散性．
（19）（本题满分12分）求微分方程 有极值 的特解 ，并判断该极值是极大值还是极小值．
（20）（本题满分12分）求 ，其中 为由曲面 与平面 ， 所围立体表面的外侧．并请说明本题不能用高斯公式计算之理由．
（21）（本题满分11分）设○1 ， ， ；
○2 ， ， 是 的两个不同的基．
求：由基○1到基○2的过渡矩阵 ，并求向量 在基○1下的坐标．
（22）（本题满分11分）设 是对应于 元二次型 的实对称矩阵， 的 个特征值从小到大排列为 ，证明：在约束条件 下，二次型 的最小值为 ，最大值为 ．
（23）（本题满分11分）设随机变量 与 相互独立，且都服从参数为1的指数分布，现令 ， ．
（1）求 的联合密度函数；
（2） 与 是否相互独立？为什么？
（3） 与 是否不相关？为什么？
（24）（本题满分11分）设有 台仪器，已知用第 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 .用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 . 设仪器都没有系统误差，即 ，问 应取何值，才能在使用 估计 时， 无偏，并且 最小？