高等代数考试大纲

 

一、基本内容与要求

1、 整数与数域上多项式的基本理论

掌握整数与多项式（包括对称多项式）的基本概念和求最大公因数和最大公因式的Euclid算法，多项式函数的特点及根与系数的关系，Eisenstein准则，了解代数基本定理及其应用。

2、 线性方程组

掌握求解线性方程组的Guass消元法，有解判定准则和解的结构定理；熟练掌握初等变换以及在求秩、逆矩阵及解线性方程组等方面的应用。

3、 矩阵运算

了解矩阵及其运算以及和数域 上向量空间 上的线性映射的关系；熟练掌握矩阵的计算方法和行列式的基本性质及计算技巧；学会线性方程组问题和矩阵问题的对应关系。

4、线性空间基本理论

掌握线性空间、线性映射的基本概念和理论，如子空间、不变子空间和直和的定义与性质，向量的坐标及其在线性映射的性质，了解空间的分解和分块阵的关系。

5、线性变换的基本性质和理论

掌握线性变换的运算性质及特征值、特征向量和特征多项式的定义和计算，矩阵相似的概念和判定方法，Jordan标准形的计算应用，矩阵对角化的条件和判定方法；了解 矩阵的性质和应用及有理标准形的定义。

   6、欧几里得空间基本理论

掌握欧几里得空间的基本性质，正交基和Schmidt正交化方法以及实对称矩阵的基本性质，掌握将实对称矩阵化成对角阵的方法；了解最小二乘法及酉空间的定义；学会将线性方程组问题，矩阵问题，线性变换问题的相互转化，“几何地”思考理解线性代数问题。

7、对称矩阵和二次型理论

掌握二次型的基本理论及与矩阵理论的对应关系，掌握正定二次型的性质和应用及将实二次型化成标准型的方法，了解多重线性代数的基本概念。

 

二、参考书

1、《高等代数》，北京大学数学系 王萼芳等编，高等教育出版社，2003年版。

2、《线性代数（数学专业用）》，李尚志编著，高等教育出版社，2006年版。

 

数学分析考试大纲

 

一、基本内容与要求

(一) 极限论

1、透彻理解和掌握数列极限，函数极限的概念。掌握并能运用ε-N，ε-X，ε-δ语言处理极限问题。

2、掌握收敛数列的性质及运算。掌握数列极限的存在条件(单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则)；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握两个重要极限来处理极限问题。

3、理解无穷小量和无穷大量的定义、性质和关系，掌握无穷小量阶的比较和方法。

4、理解与掌握一元函数连续性的定义(点，区间)，间断点及其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念。

5、掌握和应用闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性）；掌握初等函数的连续性，理解复合函数的连续性，反函数的连续性。

6、掌握实数连续性定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理。

7、理解平面点集的基本概念，二元函数的极限，累次极限，连续性概念；了解闭区间的套定理，有限覆盖定理，多元连续函数的性质。

(二) 微分学

1、理解和掌握导数与微分概念和几何意义；能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数(特别是复合函数)。

2、理解单侧导数、可导性与连续性的关系；掌握高阶导数的求法，导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。

3、熟练掌握中值定理的内容、证明及其应用；熟练掌握泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开。

4、能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限；掌握函数的某些基本特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点及渐近线)，能较正确地作出某些函数的图象。

5、掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数、极值等概念；搞清全微分、偏导数、连续之间的关系；掌握多元函数泰勒公式；会求多元函数的极值。

6、掌握隐函数的概念及隐函数的存在定理；会求隐函数的导数；会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程；掌握条件极值概念及求法。

 (三) 积分学

1、掌握原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法和三角有理式积分法，并能利用它们来求函数的积分；会计算简单的无理函数的积分。

2、理解定积分概念及函数可积的条件；熟悉一些可积分函数类； 掌握定积分与可变上限积分的性质；能熟练地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。

3、掌握定积分的几何应用；掌握定积分在物理上的应用；掌握"微元法"。

4、掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；.能用收敛性判别法判断某些反常积分的收敛性。

5、掌握含参变量定积分的概念与性质； 掌握含参变量广义积分的收敛与一致收敛的概念；掌握含参变量广义积分一致收敛的判别法；熟练应用欧拉公式。

6、掌握两类曲线积分的概念及计算；掌握两类曲线积分的性质；掌握两类曲线积分的关系；掌握格林公式的证明某些应用 ；会计算曲线积分。

7、掌握二重、三重积分的概念、性质；会计算重积分；会求图形的面积，体积及物体的质量与重心。

8、掌握两类曲面积分的概念及计算；掌握两类曲面积分的性质； 掌握两类两类曲面积分的关系；会计算曲面积分。

9、熟练掌握Gauss公式、Stokes公式及其应用。

10、理解场论中的基本概念（梯度、散度、环量、旋度、保守场和势函数），掌握保守场的判别条件。

（四）级数论

1、理解无穷级数的收敛，发散，绝对收敛与条件收敛等概念；掌握收敛级数的性质；能熟练应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的（绝对）敛散性；熟悉几何级数、调和级数与p级数。

2、掌握收敛域、极限函数与和函数一致敛等概念；掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明)；能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。

3、掌握幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；掌握幂级数的性质；会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域；会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式。

4、掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念；能正确地叙述傅里叶级数收敛性判别法；能将一些函数展开成傅里叶级数。

二、参考书目
1.《数学分析》（上册、下册） 华东师范大学数学系编（第三版） 高等教育出版社

2.《数学分析》（上册、下册）陈纪修等编（第三版） 高等教育出版社