891数学专业综合课考试大纲（2009版）

请考生注意：

1、数学专业综合课试题含常微分方程、近世代数、复变函数、概率论与数理统计、实变函数五门课程的内容，考生可任选其中三门课程的试题解答，多选无效。

 2、每门课试题满分50分。

 

常微分方程考试大纲

 

一、基本内容与要求

(一) 初等积分法

1、 熟练掌握变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程等的解法.

2、 会应用降阶法解某些高阶方程。

3、 会建立简单的微分方程模型。

 (二) 线性方程和线性方程组

1、 掌握线性微分方程(组)的一般理论.

2、 掌握常系数线性微分方程(组)的解法.

3、 能应用线性方程(组)解的结构对方程的解做简单定性分析.

4、 了解二阶线性方程的幂级数解法和Laplace方法。

5、 会应用二阶常系数线性方程分析振动现象。

 (三) 基本定理

1、掌握初值问题的存在、唯一性定理和解的延拓及解关于初值的连续、可微性定理(2) 掌握解的存在、唯一性定理及证明。

（四）稳定性与定性理论初步

1、  掌握定性、稳定性与极限环等基本定义。

2、  会画简单的相图。

3、  会分析二阶常系数线性方程组的奇点并画出相图。

二、参考书目

《常微分方程》东北师范大学数学教研室编（第三版） 高等教育出版社

 

 

 

 

近世代数考试大纲

 

一、基本内容与要求

(一)基本概念

1、理解集合与映射的概念，能进行集合之间的运算，能在集合之间建立映射关系，并能判断两个映射是否相同。

2、掌握代数运算与映射的关系，能建立有限集合之间的运算表，并能判断给定的运算是否满足结合律、交换律以及两种分配律。

3、掌握同态映射、同构映射和自同构的概念，理解同态与同态满射的关系，并能判定映射是否是同态满射，掌握具有同态满射的集合之间的联系。能判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。

4、理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，，和熟练判定给定的关系是否是等价关系。并熟悉剩余类的基本特性，能建立整数间给定的模的剩余类。

 (二) 群论

1、了解群的定义，理解左、右单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的周期。

2、理解群同构、同态的定义，掌握和一个群同态的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆。

3、掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩余类加群，并能证明任一循环群可以与整数加群或模为n的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质。

4、熟练掌握变换的符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只包含一一变换，且单位元一定是恒等变换。了解变换群的定义和性质。掌握任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明。掌握元素求逆等运算。

5、理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连）的循环置换的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的同构关系。

6、了解子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的关系。

7、掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的映射关系，并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶为素数的群一定为循环群的证明。

8、  了解不变子群的定义，能掌握一个群的子群是不变子群的充分必要条件的定理，理解商群的定义，能证明一个群同它的每一个商群同态的定理，了解核的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群的象的性质。并能将子群或不变子群的性质运用到循环群、变换群等中。

 (三) 环与域

1、理解交换环的定义，熟悉单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用。掌握消去律与零因子的关系。

2、了解除环的定义，与能举出域的例子，除环与加群、乘群的关系。熟悉无零因子环中的计算规则，掌握无零因子环中特征的性质

3、理解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念，了解同态、同构环之间的性质，了解多项式成环，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的作用。

4、理解理想子环的构成，以及零理想、单位理想和主理想的构成，能判断一个环是否是理想子环，和理想子环是否为主理想子环。了解什么是最大理想，且和剩余类环的关联。

5、  掌握没有零因子的交换环一定是一个域的子环，了解商域的构成，并掌握同构的环的商域也同构的定理。理解主理想环的概念和引理，能证明主理想环是唯一分解环。

6、了解欧氏环的定义，理解欧氏环、整数环都是主理想环与唯一分解环的证明，并能证明域一定是一个欧氏环。

 

 

二、参考书目
1.《近世代数基础》，张禾瑞著， 高等教育出版社，1978年版。

2.《近世代数》， 韩世安、林磊编著， 科学出版社，2004年版。

复变函数考试大纲

一、基本内容：

（一） 复数与复平面

1．重点掌握复数定义和几何表示，熟练掌握复数的运算；

2. 掌握区域、曲线的概念。

（二） 复变函数

1．熟练掌握复变函数的定义及映射、复变函数的极限和连续、导数与微分等概念；

2. 熟练掌握解析函数的概念与柯西-黎曼（C-R）条件；

3．掌握指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等初等解析函数的性质。

（三） 复变函数的积分

1．熟练掌握和运用柯西积分定理；

2. 熟练掌握和运用柯西积分公式、高阶导数公式；

3. 了解解析函数与调和函数的关系。

（四） 级数

1．熟练掌握级数和序列的基本性质；

2. 掌握幂级数收敛半径的求法，和函数的性质，泰勒（Taylor）定理以及把解析函数展成幂级数的方法；

3.     掌握洛朗（Laurent）定理，会求初等函数的洛朗级数展式；

4. 掌握孤立奇点的概念及其分类；

5.    掌握解析函数零点的概念，充分掌握解析函数的唯一性定理。

（五） 留数 

1. 熟练掌握留数的定义、留数基本定理；

2. 能够运用留数理论计算实积分(多值函数积分不作要求)。

（六） 保形映射

1. 掌握单叶解析函数的映射性质；

2. 熟练掌握分式线性函数及其映射性质；

3. 掌握黎曼定理、Schwarz引理和最大模原理。会应用初等函数做一些简单区域之间的保形映射。

二、参考书目

《复变函数》（第三版） 余家荣编  高等教育出版社，2000。

 

 

 

概率论与数理统计考试大纲

 

一、基本内容与要求

(一) 概率论

1、理解随机事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算；理解并熟练掌握概率的古典定义；理解几何概率，概率的统计定义及公理化定义；熟练掌握概率的基本性质，会用于计算；理解并掌握条件概率的定义，熟练掌握乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式及其应用；Bernoulli概型。

2、理解随机变量的概念；理解并熟练掌握分布函数、分布律、概率密度等概念及其性质，掌握分布函数与分布律，分布函数与概率密度的关系；掌握二项分布、Poisson分布、均匀分布、指数分布，熟练掌握正态分布，会查标准正态分布表；熟练掌握随机变量函数分布的求法。

3、理解随机变量的概念；理解并熟练掌握分布函数、分布律、概率密度等概念及其性质，掌握分布函数与分布律，分布函数与概率密度的关系；掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布，熟练掌握正态分布，会查标准正态分布表；熟练掌握随机变量函数分布的求法。

4、熟练掌握随机变量的数学期望、方差和特征函数的定义及其求法，理解特征函数与期望和方差之间的关系，理解反演公式和唯一性定理。

5、理解二维随机变量及其分布的定义，会求边缘分布；掌握二维随机变量期望、方差、协方差及相关系数、特征函数；理解条件分布和条件数学期望；会求二维随机变量函数的分布，掌握独立随机变量和的分布及特征函数；理解母函数的定义及其性质；掌握二维随机变量函数的分布，期望，方差及其性质；了解三维及三维以上随机变量的定义和分布；掌握n维正态分布定义及性质，χ²-分布、t-分布和F-分布。

6、理解大数定律和中心极限定理的统计背景，意义及其应用，了解依概率1收敛，依概率收敛及依分布收敛的意义和相互关系。

(二) 数理统计

1、掌握数理统计的基本概念；熟练掌握矩估计法和极大似然估计法；掌握无偏估计、理解有效估计和相合估计；熟练掌握区间估计定义及其意义。

2、充分理解和掌握Neyman-Pearson假设检验的基本思想和方法；熟练掌握正态总体参数假设检验方法。

二、参考书目
1. 《概率论及数理统计》（上、下册）， 梁之舜等  高等教育出版社 2005

2. 《概率论与数理统计》  严士健等  高等教育出版社 1997

实变函数考试大纲

 

 

一、基本内容与要求

(一) 测度论

1、理解可列集和不可列集的概念；理解完全集的概念并掌握康托尔三分集的构造。

2、理解勒贝格测度的可数可加性；理解可测集与开集、闭集的关系。

3、理解可测函数的定义并掌握其极限运算；掌握几乎处处收敛的概念；理解测度收敛的概念；掌握用可测简单函数列逼近可测函数。

(二) 积分论

1、掌握积分的基本运算关系和绝对连续性；熟练掌握勒贝格控制收敛定理；知道勒维定理和法杜定理；理解用连续函数依积分平均逼近可积函数。

2、熟练掌握绝对连续函数与变上限积分函数之间的关系。

二、参考书目
郑维行、王声望编《实变函数与泛函分析概要》（第一册）第三版  高等教育出版社